Question

设抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）交x轴于点A（x₁，0）B（x₂，0），x₁＜0，x₂＞0，交y轴于点C，顶点为P，此抛物线的对称轴为直线x=1，且S_△AOC：S_△BOC=1：3．
（1）求此抛物线的解析式（用含a的式子表示）；
（2）设过A、B、C三点的圆的圆心为M，MO的延长线交⊙M于点F，当直线PC的解析式为y=-x-3时，求弧AC与半径AM、CM所围成扇形的面积及过点F且与⊙M相切的直线L的解析式？
（3）在（1）问下，△ABC能否成为钝角三角形？能否成为等腰三角形？若能，求出相应的a值或a值的范围；若不能，请说明理由．

Answer

（1）根据S△AOC：S△BOC=1：3即可得到OA：OB的值，再根据对称轴，即可求得OA，OB的长，得到A，B的坐标，从而求得函数解析式；
（2）C在直线y=-x-3上，即可求得C的坐标，根据扇形的面积公式即可求得扇形的面积，然后根据三角形的相似以及互相垂直的两直线的关系求得切线的解析式；
（3）构成钝角三角形则两边的平方和大于第三边的平方，据此即可得到关于a的不等式，求得a的值；若是等腰三角形，分情况讨论，解方程即可求得a的值．
【解析】
（1）∵S△AOC：S△BOC=1：3，
∴OA：OB=1：3，
则-3x1=3x，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，即=1，
∴x1=-1，x2=3，
∴抛物线的解析式是：y=a（x+1）（x-3），即y=ax2-2ax-3a；

（2）在解析式y=-x-3中，令x=0，解得：y=3．
则C的坐标是（0，-3）．
∴抛物线的解析式y=ax2-2ax-3a中-3a=-3，
∴a=1，
∴二次函数的解析式是：y=x2-2x-3，
∴OB=OC=3，则△OBC是等腰直角三角形．
∴∠AMC=90°，
∴△AMC是等腰直角三角形．
AC===，
∴半径MA=MC=×=．
∴S扇形AMC==π；
过M作MD⊥x轴于点D，则OD=1，AD=OA+DO=2，
∴MD==1，
则M的坐标是（1，-1）．
过F作FE⊥x轴与E．
∵M是AF的中点．
∴FE=2MD=2，AE=2AD=4，
则OE=3．
∴F的坐标是（3，-2）．
直线AF的斜率是：-．
则过F点的直线的斜率是2．
则函数解析式是：y+2=2（x-3），即y=2x-8；

（3）在（1）的条件下：AB=4，OC=3a，
∴AC2=1+9a2，BC2=9+9a2，AB2=16．
当△ABC是钝角三角形时，AC2+BC2＜AB2时，1+9a2+9+9a2＜16，
解得：0＜a＜；
AC2+AB2＞BC2时，1+9a2+16＜9+9a2，无解；
当BC2+AB2＜AC2时，9+9a2+16＜1+9a2，无解．
故当0＜a＜时，△ABC是钝角三角形．
当△ABC是等腰三角形时，若AC=AB，则1+9a2=16，解得：a=；
当BC=AB时，9+9a2=16，解得：a=．
故当a=或时，△ABC是等腰三角形．