Question

如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD于E、交BC于F，
求证：（1）△DOE≌△BOF；（2）四边形DEBF是平行四边形．

Answer

（1）由平行四边形的性质可得BO=DO，QD∥BC，所以∠EDO=∠FBO，又有∠EOD=∠FOD，所以△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）由（1）△DOE≌△BOF，可得OE=OF，又有BO=DO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形DEBF为平行四边形．
证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，
又∵∠EOD=∠FOD，
在△DOE和△BOF中
∠EDO=∠FNO，∠EOD=∠FOD，OB=OD，
∴△DOE≌△BOF．

（2）连接BE、DF，因为△DOE≌△BOF，
所以OE=OF，
又有BO=DO，
所以四边形DEBF为平行四边形．