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(1999•杭州)如图,O是△ABC的外心,弦AB的垂直平分线与AB和AC分别相...

(1999•杭州)如图,O是△ABC的外心,弦AB的垂直平分线与AB和AC分别相交于点M、N,与BC边的延长线相交于点P,求证:OA2=ON•OP.

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连接OB,所求的乘积式可化为:OA•OB=ON•OP;将上式化为比例式,然后证线段所在的三角形相似,即证△OAN∽△OPB. 证明:连接OB; ∵PM垂直平分AB, ∴OA=OB,AM=BM,OM⊥AB; ∴∠AOM=∠BOM=∠AOB; ∵∠ACB=∠AOB,∴∠ACB=∠AOM; ∴∠NAO+∠ANO=∠P+∠PNC; ∵∠PNC=∠ANO,∴∠P=∠NAO; ∵∠AOM=∠MOB, ∴∠AON=∠BOP; ∴△ANO∽△PBO, ∴,即OA•OB=OP•ON; ∵OA=OB, ∴OA2=ON•OP.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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