Question

（1999•昆明）在△ABC，∠C=90°，斜边AB=10，直角边AC、BC的长是关于x的方程x²-mx+3m+6=0的两个实数根．
（1）求m的值；
（2）计算sinA+sinB+sinA•sinB．

Answer

（1）Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=（AC+BC）2-2AC×BC，再将二次方程的系数代入求得m值；
（2）将sinA+sinB+sinA•sinB用△ABC的边表示，化为两边之和，两边之积，将二次方程的系数代入求得结果．
【解析】
（1）如图，设AC=x1，BC=x2，
由题意，得
x1+x2=m＞0，x1x2=3m+6＞0．
在Rt△ABC中，AC2+BC2=100，
即x12+x22=100，
（x1+x2）2-2x1x2=100．
m2-6m-112=0．
解得m1=14，m2=-8（舍去）．
∴m=14．

（2）sinA+sinB+sinAsinB=
=
由x1+x2=m=14，x1x2=3m+6=3×14+6=48得：
=．