Question

（1999•温州）已知x₁，x₂是关于工的方程x²-3x+m=0两个不相等的实数根，设S=x₁²+x₂²．
（1）求S关于m的函数解析式，并求自变量m的取值范围；
（2）当函数值S=7时，求x₁³+8x₂的值．

Answer

（1）由根与系数的关系可得出x1+x2、x1x2的值，再将S的表达式配成完全平方式，再将x1+x2、x1x2的值整体代入，即可得出S、m的函数关系式；m的取值范围可由根的判别式得出；
（2）首先可求出S=7时，m的值；然后将所求代数式进行拆分，再将此时x1+x2，x1x2的值代入求解．
【解析】
（1）由题意，得：x1+x2=3，x1x2=m；
∴S=x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=9-2m；
由于原方程有两个不相等的实数根，故△=9-4m＞0，即m＜；
即S=9-2m（m＜）；
（2）当S=7时，9-2m=7，即m=1；
此时x1+x2=3，x1x2=1；
∴x13+8x2=x13+（x12+x22+x1x2）x2
=x13+x12x2+x23+x1x22
=x13+x23+x1+x2
=（x1+x2）（x12-x1x2+x22）+x1+x2
=（x1+x2）（x12+x22-x1x2+1）
=3×（7-1+1）=21．