Question

如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．设AB=2，当时，则=    ．若（n为整数），则=    ．（用含n的式子表示）

Answer

设EF和AD的交点为G，先求得CN，NE的长，再根据两组相似三角形：△NCE∽△EDG∽△MFG，利用成比例线段即可求解．
【解析】
已知（n为整数），且CD=2，则CE=，DE=；
设AM=a，BN=b；
在Rt△NCE中，NE=BN=b，NC=2-b，由勾股定理得：
NE2=NC2+CE2，即b2=（2-b）2+（）2；
解得：b=，BN=NE=，NC=2-b=；
由于∠NEF=90°，∠C=∠D，
∴∠GED+∠NEC=90°，∠GED+∠DGE=90°，
∴∠NEC=∠DGE，
易证得△NEC∽△EDG，
∴，即；
解得：EG=，FG=EF-EG=2-=，
∵∠FGM=∠DGE=∠NEC，且∠F=∠C=90°，
∴△MFG∽△NCE，得：；
即：，解得：MF=；
∴=；
当n=2时，；
故答案为：，．