Question

（2009•莆田）已知：等边△ABC的边长为a．
探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；
探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．
①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1． OD+OE+OF=a；结论2． AD+BE+CF=a；
②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

Answer

（1）本题中△ABC为等边三角形，AB=BC=a，∠ABC=60°，求出∠N，∠G的值，在直角△AMB、△CNB中，可以先用a表示出MB，NB然后再表示出MN，这样就能证得MN=a；
（2）判定①是否成立可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；
判断②是否成立，也要通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然后经过化简得出结论②是否正确．
（1）证明：如图1，∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM=∠BAM=90°．
∴∠ABM=90°-∠ABC=30°．
∴∠M=90°-∠ABM=60°．
同理：∠N=∠G=60°．
∴△MNG为等边三角形．
在Rt△ABM中，BM=a，
在Rt△BCN中，BN=a，
∴MN=BM+BN=a．

（2）②：结论1成立．
证明：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点H作HM⊥BC于点M，
∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH=AH．
∵OE⊥BC，
∴OE∥HM，
∴四边形OEMH是矩形，
∴HM=OE．
在Rt△ODG中，OD=OG•sin∠DGO=OG•sin60°=OG，
在Rt△OFH中，OF=OH•sin∠OHF=OH•sin60°=OH，
在Rt△HMC中，HM=HC•sinC=HC•sin60°=HC，
∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH
=（GH+HC）=AC=a．

（2）②：结论2成立．
证明：如图4，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：
BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①，
CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②，
AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③，
①+②+③得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2，
∴BE2+CF2+AD2=（a-AD）2+（a-BE）2+（a-CF）2=a2-2AD•a+AD2+a2-2BE•a+BE2+a2-2CF•a+CF2
整理得：2a（AD+BE+CF）=3a2
∴AD+BE+CF=a．