Question

（2009•怀柔区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为______，数量关系为______；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）①如果AB=AC，∠BAC≠90°，点D在射线BC上运动．在图4中同样作出正方形ADEF，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；
②如果∠BAC=90°，AB≠AC，点D在射线BC上运动．在图5中同样作出正方形ADEF，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；

（3）要使（1）问中CF⊥BC的结论成立，试探究：△ABC应满足的一个条件，（点C、F重合除外）画出相应图形（画图不写作法），并说明理由；
（4）在（3）问的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，设AC=，BC=，求线段CP长的最大值．

Answer

（1）当CF与BD位置关系为互相垂直，数量关系是相等．首先证明△DAB≌△FAC，然后推出∠ACF=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，求出CF⊥BD；
（2）根据题意画出图形来理解．学会数形结合解答问题．
（3）过点A作AG⊥AC，证明△GAD≌△CAF后可证得CF⊥BD；
（4）作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，利用勾股定理求出AQ=CQ=2，证明△AQD∽△DCP，利用线段比求出CP的值．
【解析】
（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；（1分）

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立（如图3）．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（3分）
（2）①画出图形（如图4），判断：（1）中的结论不成立．

②画出图形（如图5），判断：（1）中的结论不成立．（4分）

（3）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图6）．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG．
∵∠BCA=45°，
∴∠AGD=45°，
∴△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°．
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
即CF⊥BD．（5分）

（4）当具备∠BCA=45°时，
过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，（如图7），
∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45°，AC=，
∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2．
设CD=x，∴DQ=2-x，
∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
且∠ADE=90°，
∴∠ADQ+∠PDC=90°，
又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°
∴∠ADQ=∠DPC，
∵∠AQD=∠DCP=90°
∴△AQD∽△DCP，
∴，∴．
∴CP=-x2+x=-（x-1）2+．（7分）
∵0＜x≤，
∴当x=1时，CP有最大值．（8分）