Question

（2007•深圳）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于A，B两点．
（1）求线段AB的长；
（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少；
（3）如图2，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式是否成立；
（4）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC=a，AC=b，AB=c．CD=b，试说明：．

Answer

（1）分别过A、B两点作AE⊥x轴，BF⊥y轴，垂足分别为E、F，利用勾股定理求出AB的值．
（2）设扇形的半径为x，扇形面积为y．根据扇形的面积公式求出函数关系式化简即可．
（3）过点A作AE⊥x轴，垂足为点E．证明△AEO∽△CMO，利用线段比求出CO、OD的值．利用勾股定理求出OM．
（4）由题意利用勾股定理得AB2=a2+b2．然后推出a2b2=c2•h2可证明．
【解析】
（1）在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于A，B两点．
∴A（-4，-2），B（6，3）
如图1，分别过A、B两点作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别为E、F，
∴AB=OA+OB==

（2）设扇形的半径为x，则弧长为，扇形的面积为y
则==
∵a=-1＜0
∴当时，函数有最大值y最大=

（3）如图2，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E．
∵CD垂直平分AB，点M为垂足
∴
∵∠AEO=∠OMC，∠EOA=∠COM
∴△AEO∽△CMO
∴
∴
∴
同理可得
∴
∴
∴

（4）等式成立．理由如下：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴
∴ab=c•h
∴a2b2=c2•h2
∴a2b2=（a2+b2）h2
∴
∴
∴
∴．