Question

（2007•韶关）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线与坐标轴交于D、E．设M是AB的中点，P是线段DE上的动点．
（1）求M、D两点的坐标；
（2）当P在什么位置时，PA=PB求出此时P点的坐标；
（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积．

Answer

（1）因为四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线与坐标轴交于D、E，M是AB的中点，所以令y=0，即可求出D的坐标，而AM=1，所以M（4，1）；
（2）因为PA=PB，所以P是AB的垂直平分线和直线ED的交点，而AB的中垂线是y=1，所以P的纵坐标为1，令直线ED的解析式中的y=1，求出的x的值即为相应的P的横坐标；
（3）可设P（x，y），连接PN、MN、NF，因为点P在y=-x+上，所以P（x，-x+，根据题意可得PN⊥MN，FN⊥BC，F是圆心，又因N是线段HB的中点，HN=NB=，PH=2-（-x+）=x+，BM=1，利用直径对的圆周角是直角可得到∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，所以∠HPN=∠BNM，又因∠PHN=∠B=90°，所以可得到Rt△PNH∽Rt△NMB，所以，∴，这样就可得到关于x的方程，解之即可求出x的值，而所求面积的四边形是一个直角梯形，所以．
【解析】
（1）M（4，1），D（，0）；（2分）

（2）∵PA=PB，
∴点P在线段AB的中垂线上，
∴点P的纵坐标是1，
又∵点P在y=-x+上，
∴点P的坐标为；（4分）

（3）设P（x，y），连接PN、MN、NF，
∵点P在y=-x+上，
∴P（x，-x+，
依题意知：PN⊥MN，FN⊥BC，F是圆心，
∴N是线段HB的中点，HN=NB=，PH=2-（-x+）=x+，BM=1，（6分）
∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，
∴∠HPN=∠BNM，
又∵∠PHN=∠B=90°，
∴Rt△PNH∽Rt△NMB，
∴，
∴，
∴x2-12x+14=0，解得：x=6+舍去），x=6-，（8分）．  （9分）