Question

（2007•韶关）如图，四边形ABCD中，AD不平行BC，现给出三个条件：①∠CAB=∠DBA，②AC=BD，③AD=BC．请你从上述三个条件中选择两个条件，使得加上这两个条件后能够推出ABCD是等腰梯形，并加以证明．（只需证明一种情况）

Answer

有两种方法，第一种是：①∠CAB=∠DBA，②AC=BD；第二种是：②AC=BD，③AD=BC，均可利用等腰梯形的判定方法进行验证．
【解析】
第一种选择：①∠CAB=∠DBA，②AC=BD．（1分）
证明：∵∠CAB=∠DBA，AC=BD，AB=BA，
∴△ACB≌△BDA．（3分）
∴AD=BC，∠ABC=∠BAD．（4分）
作DE∥BC交AB于E，如图（1），则∠DEA=∠CBA，
∴∠DAE=∠DEA，AD=ED．（6分）
∴DE=BC，
∴四边形DCBE是平行四边形，
∴BE∥CD．即AB∥CD（8分）
又∵AD不平行BC，
∴ABCD是等腰梯形．（9分）

第二种选择：②AC=BD，③AD=BC．（1分）
证明：延长AD、BC相交于E，如图（2），（2分）
∵AC=BD，AD=BC，AB=BA，
∴△DAB≌△CBA．（3分）
∴∠DAB=∠CBA．（4分）
∴EA=EB．（5分）
又AD=BC，
∴DE=CE，∠EDC=∠ECD．
而，∠E+∠EAB+∠EBA=∠E+∠EDC+∠ECD，
∴∠EDC=∠EAB．（7分）
∴DC∥AB．（8分）
又∵AD不平行BC，
∴ABCD是等腰梯形．（9分）
说明：由①、③不能推出ABCD是等腰梯形，反例见图：