Question

（2007•厦门）已知点P（m，n）（m＞0）在直线y=x+b（0＜b＜3）上，点A、B在x轴上（点A在点B的左边），线段AB的长度为b，设△PAB的面积为S，且S=b²+b．
（1）若b=，求S的值；
（2）若S=4，求n的值；
（3）若直线y=x+b（0＜b＜3）与y轴交于点C，△PAB是等腰三角形，当CA∥PB时，求b的值．

Answer

（1）把b=代入关系式，即可求出S的值；
（2）把S=4代入S=b2+b．求出b的值，根据b的取值范围，舍去不合题意的值，有|AB|=S=|AB|•n•=4，即可求出n的值；
（3）由S=n•b•=b2+b，得n=b+1又n=m+b=b+1，得m=1，有P（1，b+1）①当PA=PB时，xB-xA=b，
①（xB-1）2+（b+1）2=（xA-1）2+（b+1）2，
②=，三式联立便可求出XA，XB的值，代入②求出B的值，舍去不合题意的值；同上，求出当PA=PB时，XA-XB=b时，求出b的值，由b＞0可知，它们均不合题意，故b=1．
【解析】
（1）当b=时，S=×+×=+1=；

（2）当S=4时，b2+b=4，
b2+b-6=0，
即（b+3）（b-2）=0，
∴b=-3或b=2，
又0＜b＜3，
∴b=2，代入得：
∴|AB|=S=|AB|•n•=4，
∴n=3；

（3）S=n•b•=b2+b，得n=b+1，
又n=m+b=b+1，
∴m=1，
∴P（1，b+1），
Ⅰ：当PA=PB时，xB-xA=b，
①（xB-1）2+（b+1）2=（xA-1）2+（b+1）2，
②=，
③联立三式，得：
代入②式得=或=，
解得b=0（舍去）或b=-（舍去），b=1（符合）；
Ⅱ：当PB=AB时，xA-xB=b，
①（xB-1）2+（b+1）2=b2，
③得XB=，
代入②式得4b2+b-3=，
7b2-18b-9≥0，
解得b≥3（舍去）或b≤-不符合0＜b＜3，
∴无解；
Ⅲ：当PA=AB时，xA-xB=b，
①（xA-1）2+（b+1）2=，
②=，
③得XA=，
代入②式得（4b2+b-3）2=7b2-18b-9，7b2-18b-9≥0，
解得b≥3（舍去）或b≤-不符合0＜b＜3，
∴无解．
∴综上所述有b=1．