Question

（2007•厦门）已知抛物线的函数关系式：y=x²+2（a-1）x+a²-2a（其中x是自变量），
（1）若点P（2，3）在此抛物线上，
①求a的值；
②若a＞0，且一次函数y=kx+b的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式（只需写一个，不要写过程）；
（2）设此抛物线与轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）．若x₁＜＜x₂，且抛物线的顶点在直线x=的右侧，求a的取值范围．

Answer

（1）①将P点坐标代入抛物线的解析式中即可求出a的值．
②可根据①得出的a的值求出抛物线的解析式，然后根据抛物线的解析式即可写出符合条件的一次函数关系式．
（2）本题可从两方面考虑：
①根据x1＜＜x2，以及抛物线的开口向上可得出当x=时，函数值必小于0，由此可得出一个a的取值范围．
②由于抛物线的顶点在直线x=的右侧，也就是说抛物线的对称轴在x=的右侧，由此可得出另一个a的取值范围．结合两种情况即可求出a的取值范围．
【解析】
（1）将P（2，3）代入y=x2+2（a-1）x+a2-2a
得a2+2a-3=0，（a+3）（a-1）=0
∴a=-3或a=1
②∵a＞0，
∴由（1）知a=1，原函数化简为y=x2-1，
故与此抛物线无交点的直线可以是y=x-2．

（2）∵顶点在x=右侧，即对称轴（1-a）在的右侧，
∴1-a＞
∴a＜
①由于x1＜＜x2；
∴抛物线在自变量取时，
∵变量必小于0．
∴3+2（a-1）+a2-2a＜0；
解得-＜a＜2-
∵x=-（a-1）＞，即a＜；
∴-＜a＜．