Question

（2007•南平）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度数；
（2）当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小；
（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA²，PC²，PB²之间关系的等式，并加以证明．

Answer

（1）由于∠PCB=∠BCQ=45°，故有PCQ=90°．
（2）由等腰直角三角形的性质知，AC=4，根据已知条件，可求得AP，PC的值，再由勾股定理求得PQ的值．
（3）由于△PBQ也是等腰直角三角形，故有PQ2=2PB2=PA2+PC2．
【解析】
（1）由题意知，△ABP≌△CQB，
∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，
∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．

（2）当AB=4，AP：PC=1：3时，有AC=4，AP=，PC=3，
∴PQ==2．

（3）存在2PB2=PA2+PC2，
由于△BPQ是等腰直角三角形，
∴PQ=PB，
∵AP=CQ，
∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2，
故有2PB2=PA2+PC2．