Question

已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x²y+xy²=66，求：代数式x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴的值．

Answer

由已知条件xy+（x+y）=17，x2y+xy2=xy（x+y）=66，可以看出xy和（x+y）是方程t2-17t+66=0的两个实数根，可得出xy=11，x+y=6时，x、y是方程v2-6v+11=0的两个根或xy=6，x+y=11时，x、y是方程u2-11u+6=0的两个根，根据根的判别式△=b2-4ac，判断两个方程有无实数根，有实数根时可以整理出x2+y2=（x+y）2-2xy，把原代数式化简为含x2+y2的形式，代入求值即可．
【解析】
由已知条件可知xy和（x+y）是方程t2-17t+66=0的两个实数根，由t1=6，t2=11
得或
当xy=11，x+y=6时，x、y是方程v2-6v+11=0的两个根
∵△1=36-44＜0
∴此方程没有实数根
当xy=6，x+y=11时，x、y是方程u2-11u+6=0的两个根
∵△2=121-24＞0
∴此方程有实数根，这时x2+y2=（x+y）2-2xy=109
∴x4+x3y+x2y2+xy3+y4=x4+y4+x2y2+xy（x2+y2）=（x2+y2）2-x2y2+xy（x2+y2）=12499．