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(2006•南充)如图,经过点M(-1,2),N(1,-2)的抛物线y=ax2+...

(2006•南充)如图,经过点M(-1,2),N(1,-2)的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点.
(1)求b的值.
(2)若OC2=OA•OB,试求抛物线的解析式.
(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAC的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)根据题意可知,将点M,N的坐标代入函数解析式列的方程组,解方程组即可求得b的值; (2)根据(1)可求得仅有一个未知系数的解析式y=ax2-2x-a,根据已知得:OC=a,OA=-x1,OB=x2,所以根据根与系数的关系,列方程求得a的值,求得二次函数的解析式; (3)首先要确定点P的位置,即找到点A关于对称轴的对称点B,直线BC与函数对称轴的交点即是所求的P点;求得直线BC的解析式即可求得点P的坐标. 【解析】 (1)将M,N两点的坐标代入抛物线解析式,得 ②-①,得 2b=-4 ∴b=-2. (2)由(1)b=-2,a+c=0 所以抛物线的解析式可写为y=ax2-2x-a 则C(0,-a) 设A(x1,0),B(x2,0) 则x1,x2是方程ax2-2x-a=0的二根 从而x1x2=-1 由所给图形可知OC=a,OA=-x1,OB=x2 ∵OC2=OA•OB ∴a2=-x1x2 ∴a2=1 ∴a=1(a>0) ∴抛物线解析式为y=x2-2x-1. (3)在抛物线对称轴上存在点P,使△PAC的周长最小. ∵AC长为定值 ∴要使△PAC的周长最小,只需PA+PC最小 ∵点A关于对称轴x=1的对称点是B,由几何知识知PA+PC=PB+PC,BC与对称轴的交点为所求点P. 由(2)知B(+1,0),C(0,-1),经过点B(+1,0),C(0,-1)的直线为y=(-1)x-1, 当x=1时,y=-2. 即P(1,-2).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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