Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB.

（1）求AC的长和点D的坐标；

（2）说明△AEF与△DCE相似；

（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标.

Answer

（1）AC=20.        D（12,0）

（2）见解析

（3）E的坐标为或.

【解析】

试题分析：（1）利用矩形的性质，在Rt△ABC中，利用三角函数求出AC、BC的长度，从而得到A点坐标；由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标；

（2）欲证△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可．如图①，在△AEF与△DCE中，易知∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，从而问题解决；

（3）当△EFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：

①当CE=EF时，此时△AEF与△DCE相似比为1，则有AE=CD；

②当EF=FC时，此时△AEF与△DCE相似比为，则有AE=CD；

③当CE=CF时，F点与A点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在．

考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形．