Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c经过A（2，0）、B（4，0）两点，直线交y轴于点C，且过点D（8，m）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点P，使CP+DP的值最小，求出点P的坐标；

（3）将抛物线y=x²+bx+c左右平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，当四边形A′B′DC的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A′B′DC周长的最小值．

Answer

（1）由于抛物线经过A（2，0），B（4，0），则有：

y=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8；

（2）易知：C（0，2），D（8，6）；

作C关于x轴的对称点C′（0，﹣2），连接C′D，点P即为直线C′D与x轴的交点；

设直线C′D的解析式为：y=kx﹣2，则有：

8k﹣2=6，k=1；

∴直线C′D的解析式为y=x﹣2；则P点坐标为：P（2，0）；

（3）当抛物线向右平移时，A′C+B′D＞AC+BD，显然不存在符合条件的抛物线；

当抛物线向左平移时，设平移后A′（x，0），B′（x+2，0）；

若平移后四边形A′B′DC的周长最小，那么A′C+B′D就应该最小；

将D向左平移2个单位，得：D′（6，6）；

若四边形A′B′DC的周长最小，那么C′、A′、D′就应该在同一直线上，

设直线C′D′的解析式为：y=k′x﹣2，则有：6k′﹣2=6，k′=；

∴直线C′D′的解析式为y=x﹣2，

则A′（，0），B′（，0）；

∴此时抛物线的解析式为：y=（x﹣）（x﹣）=x2﹣5x+；

此时四边形A′B′DC的周长为：A′B′+A′C+B′D+CD=AB+CD+C′D′=2+4+10=12+4．

【解析】（1）将A、B点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值；

（2）根据已知直线的解析式可求出C点的坐标，作C关于x轴的对称点C′，连接C′D，与x轴的交点即为所求的P点，可先求出直线C′D的解析式，进而求出P点的坐标；

（3）由于A′B′、CD都是定长，若四边形A′B′DC的周长最小，那么A′C+B′D就最短，此时C′A′应该平行于B′D，很显然抛物线应该向左平移，可将D向左平移2个单位（即AB的长）得到D′，那么C′D′与x轴的交点即为所求的A′，可先求出直线C′D′的解析式，然后再求得A′的坐标，也就能得到B′的坐标，用待定系数法即可求得平移后抛物线的解析式；此时四边形A′B′DC的最小周长为：C′D′+AB+CD