Question

已知⊙O中，弦AB=AC,点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PB、PA、PC。

（1）   如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，求证：点P、C、Q三点在同一直线上。

（2）   如图②，若∠BAC=60º,试探究PA、PB、PC之间的关系。

（3）   若∠BAC=120º时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请探究它们又有何数量关系。

                                 ②                    ③

Answer

(1)连接PC，

      ∵△ABP≌△ACQ

      ∴∠ABP=∠ACQ

      ∵,

∴∠ABP+∠ACP=180°

∴∠ACQ+∠ACP=180°

∴点P、C、Q三点在同一直线上

(2) 把△ABP绕点A逆时针旋转到AB与AC重合得△ACQ，

∵△ABP≌△ACQ

∴CQ=BP, ∠BAP=∠CAQ

∵∠BAC=60º

∴∠PAQ=60º

∵AB=AC

∴△APQ是等边三角形

∴AP=CQ+PC

即AP=PB+PC

(3)(2)中的结论不成立。

   ∵∠BAC=120º

   ∴∠PAQ=120º

∴△APQ是等腰三角形

∴PQ=PA

∴AP=CQ+PC

即AP=PB+PC

【解析】利用旋转，将△ABP与△ACQ拼成一个三角形。从而求证。