Question

已知二次函数：

(1) 证明：当m为整数时，抛物线与x轴交点的横坐标均为整数；

(2) 以抛物线的顶点A为等腰Rt△的直角顶点，作该抛物线的内接等腰Rt△ABC（B、C两点在抛物线上），求Rt△ABC的面积（图中给出的是m取某一值时的示意图）；

(3) 若抛物线与直线y＝7交点的横坐标均为整数，求整数m的值.

Answer

（1）证明：令 ，解得抛物线与轴交点的横坐标x,

，

∵m是整数，∴是整数，∴均为整数

（2） 求得顶点A（2m， ），根据抛物线的轴对称性，所以BC平行x轴，

作AD⊥BC，设B（a，b），则D在对称轴上，D（2m，b），

则BD＝2m－a,（2m＞a），

AD＝－b

＝＝(2m－a)2

∵AD＝BD, ∴(2m－a)2＝(2m－a), 解得2m－a＝1或2m－a＝0（舍去）

∴S△ABC＝BCAD＝×2BD×AD＝1

（3）由，，

当x为整数时，须为完全平方数，设 （n是整数）整理得：即

两个整数的积为7，∴~~~

解得： 综上得： m＝3或m＝－1

∴抛物线与直线y＝7交点的横坐标均为整数时，m＝3或m＝－1.

【解析】（1）表示出横坐标，然后分析是整数；

       （2）得出BC平行x轴、D在对称轴上是求三角形面积的关键；

       （3）当x为整数时，为完全平方数，然后根据两个整数的积=7求解。