Question

如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）连结BE，设DC＝a，求BE的长.

Answer

（1）∵在等腰Rt△ABC中，∠CAD＝∠CBD＝15o，

∴∠1＝∠2＝45°－15o ＝30o，∴AD＝BD，

又BC＝AC, DC公共∴△BDC≌△ADC（SSS）

∴∠3＝∠4＝45o．

∴∠CDE＝15o＋45o＝60°

又∠BDE＝30o＋30o＝60°，∴DE平分∠BDC

(注：证△全等，必须先证AD＝BD，也可以SAS，)

（2）∵CE＝CA，∴等腰△ACE中∠ACE＝150°，∴∠5＝150°－90°＝60°，

又CE＝CA＝BC，∴△BCE为正三角形，BE＝AC

由等腰Rt△ABC性质，延长CD交AB于F，则△ADF为Rt△，设DF＝x,

在Rt△ADF中，∠1＝30o，则有，解得 （舍去负值），

∴BE＝AC＝＝＝

【解析】（1）先证得AD=BD，得△BDC≌△ADC，进而求出∠CDE＝60°，易得∠BDE＝60°，所以DE平分∠BDC；

（2）延长CD交AB于F，则△ADF为Rt△，利用勾股定理求解即可。