Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+2的图象过和，与轴交于点，与轴交于另一点，点是原点关于点的对称点，连结、，设点。

（1）求抛物线的解析式；

（2）连结、，①求的值；②将绕点旋转，在旋转过程中如图（2），线段和的比值会变吗？请说明理由；

（3）设点是直线上方的抛物线上一点，连结，以为边作图示一侧的正方形，随着点的运动，正方形的大小，位置也随之改变，当顶点或恰好落在轴上时，直接写出对应点的坐标。

Answer

（1）（2）①2②不变，理由见解析（3），，

【解析】【解析】
（1）∵图象经过、，代入

       得    解得   ∴

（2）①设，则  ，

∴∴

作EM⊥轴，   ∴MO=1

∴AM=1  ∴DM=2+1=3   EM=2 ∴DE=  BF=

∴

②成立。∵，∴，∠COB=∠DOC=Rt∠

∴△COB∽△DOC  ∴∠BCO=∠CDO  

又∵∠CDO+∠DCO=90°   ∴∠BCO+∠DCO=90°

∴∠DCB=90°       ∴∠DCE+∠ECB=∠CFD+∠BCE==90°

∴∠DCE =∠CFD    

∴△DEC∽△BCF     ∴

③当H点在轴上时，如图，作QH⊥轴于H

QN⊥轴于N   ∵QP=QA  ∠AQN=∠PQN  ∠QNA+∠QHP=90°

 ∴△QAN≌△QPH    ∴QH=QN即  

∴   ∴   ∴（舍去），

∴     ∴

当G在轴上时，则△QAN≌△AOG  

∴QN=AO=2即          ，

∴，

（1）用待定系数法求得

（2）①设，求得A、D点的坐标，作EM⊥轴，根据勾股定理求得DE、 BF 的长，从而求得的值；②通过证得△COB∽△DOC，再证得△DEC∽△BCF，即可得出结论

（3）分两种情况进行讨论: 当H点在轴上时, 当G在轴上时