Question

如图，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x²﹣14x+4（AB+2）=0的两个根（OB＞OA），P是直线l上A、B两点之间的一动点（不与A、B重合），PQ∥OB交OA于点Q

1.求tan∠BAO的值

2.若S_△PAQ=S_{四边形OQPB}时，请确定点P在AB上的位置，并求出线段PQ的长；

3.当点P在线段AB上运动时，在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

1.由已知可得，

又∵OA2+OB2=AB2，

∴（OA+OB）2﹣2OA•OB=AB2，

即142﹣8（AB+2）=AB2，

∴AB2+8AB﹣180=0，

∴AB=10或AB=﹣18（不合题意，舍去），

∴AB=10，

∴x2﹣14x+48=0，

解得x1=6，x2=8，

∵OB＞OA，∴OA=6，OB=8，

∴tan∠BAO=．  （5分）

2.∵S△PAQ=S四边形OQPB，

∴S△PAQ=S△AOB，

∵PQ∥BO，

∴△PQA∽△BOA，

∴，

∴．∵AB=10，

∴AP=5，

又∵tan∠BAO=，

∴sin∠BAO=，

∴PQ=PA•sin∠BAO=．（5分）

3.存在，

M点的坐标分别为M1（0，0）、M2（0，）、M3（0，）．（2分）

【解析】（1）根据勾股定理得出OA2+OB2=AB2，求出AB．然后把AB代入等式求出x的值继而求出OA，OB的值即可；

（2）已知S△PAQ=S四边形OQPB，证明△PQA∽△BOA利用线段比求出AB，AP的值．知道PQ=PA•sin∠BAO，即可求解．