Question

已知：抛物线y＝－x²＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线

y＝x交于点B、C（B在右、C在左）．

1.求抛物线的解析式

2.设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由

3.射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y＝－x²＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围．

Answer

1.点A（0，2m-7）代入y＝－x2＋2x＋m-2，得m=5

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3

2.由得，

∴B（），C（）

B（）关于抛物线对称轴的

对称点为

可得直线的解析式为，

由，可得

∴       ………………………5分

3.当在抛物线上时，可得，，

当在抛物线上时，可得，，

舍去负值，所以t的取值范围是．………………8分

【解析】（1）将A点坐标代入解得抛物线的解析式；

（2）先求出抛物线与直线的交点B、C的坐标，然后求出B点关于抛物线对称轴的对称点B′,从而得出B′C的解析式，再求出F点坐标；

(3)把M、P两点的坐标代入抛物线方程中得出t的取值范围。