Question

如图10-1，已知抛物线y = 与x轴交于A、B两点，与y轴交于

点C，且OB=OC．

（1）求抛物线的函数表达式；（2分）

（2）若点P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为一边，在直线AB的同侧作等边三角形APM和BPN，求△PMN的最大面积，并写出此时点P的坐标；（3分）

（3）如图10-2，若抛物线的对称轴与x轴交于点D，F是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线FD与y轴交于点E．是否存在点F，使△DOE与△AOC相似？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）

    

Answer

（1）【解析】
令x = 0得，y = 4，∴C（0，4）

∴OB=OC=4，∴B（4，0）…………………………………………1分

代入抛物线表达式得：

16a–8a + 4 = 0，解得a =

∴抛物线的函数表达式为………………………2分

（2）【解析】
过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x轴于H，

设P（x，0），△PMN的面积为S，则

PG=，MG=，PH=，NH=

∴S=

=

=

= …………………………3分

=

∵，∴当x=1时，S有最大值是………………4分

∴△PMN的最大面积是，此时点P的坐标是（1，0）………………5分

（3）【解析】
存在点F，使得△DOE与△AOC相似．有两种可能情况：

①△DOE∽△AOC；②△DOE∽△COA

由抛物线得：A（–2，0），对称轴为直线x = 1

∴OA=2，OC=4，OD=1

①若△DOE∽△AOC，则

∴，解得OE=2

∴点E的坐标是（0，2）或（0，–2）

若点E的坐标是（0，2），则直线DE为：

解方程组

得：，（不合题意，舍去）

此时满足条件的点F1的坐标为（，）……………………6分

若点E的坐标是（0，–2），

同理可求得满足条件的点F2的坐标为（，）…………7分

②若△DOE∽△COA，

同理也可求得满足条件的点F3的坐标为（，）……………8分

满足条件的点F4的坐标为（，）………………………………9分

综上所述，存在满足条件的点F，点F的坐标为：

F1（，）、F2（，）、F3（，

或F4（，）．

【解析】略