Question

如图10所示，已知A点的坐标为（-1，0），点B的坐标是（9,0）以AB为直径作⊙，交y轴负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C作抛物线

1.（1）求抛物线的解析式

2.（2）点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙于点D，连结BD求BD直线的解析式

3.（3）在（2）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△PCD的面积是△BCD面积的，求此时点P的坐标

Answer

1.（1）AB是⊙的直径

           ∴ AC⊥BC

           又  OC⊥AB

           ∴ △OAC∽△OCB

           ∴

           ∴

           ∴ C（0，）……………（1分）

     设抛物线解析式为，

    抛物线过A（－1，0）、B（9，0）和C（0，－3）

   ∴  解得………（2分）

所求抛物线解析式为………（3分）

2.（2）连结，

 ∵ CD平分∠BCE，

  ∴ ∠BCD=∠=45°

  ∴ ∠=90°

 又  =5

 ∴  D（4，）…………………………（1分）

设直线BD的解析式为，则

    解得 ………………（2分）

直线BD的解析式为.……………………（3分

3.（3）设点P（，）

过点P作PH⊥x轴于H，交直线CD于M，

易得直线CD的解析式为，则M（x，）

易知直线CD与抛物线交点为C（0，）和N（，）

∵ S△BCD=S四边形ACDB－S△ABC

= S△AOC++－S△ABC

       ==15……………………（1分）

设△PCM与△PDM中,边PM上的高分别为和，则

①  当时，如图（1）

=5

即

   解得，>4（舍去）

∴ （，）…………………………………………………（2分）

②  当时，如图（2）

=5

即

   解得<4（舍去）,

∴ （5，）………………………………………………（3分）

③  当时，如图（3）

=5

   即

   解得 ，<0（舍去）

∴ （，）

所有求点P的坐标是（，）、（5，）或（，）…（4分）

         图（1）                   图（2）                 图（3）

【解析】略