Question

如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是2．O为坐标原点，点A在x的正半轴上，点C在y的正半轴上．一条抛物线经过A点，顶点D是OC的中点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点，线段FG过点E与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于F，G点，试比较线段OE与EG的长度；

（3）点H是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段IJ过点H与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于I、J点，点K在y轴的正半轴上，且OK=OH，请证明△OHI≌△JKC．

Answer

（1）

（2）OE=EG

（3）证明略

【解析】【解析】
(1)由题意，设抛物线的解析式为:.…………1分

将点D的坐标(0,1),点A的坐标(2,0)代入,得

a = ，b=1.

所求抛物线的解析式为.…………………3分

(2)由于点E在正方形的对角线OB上,又在抛物线上,

设点E的坐标为(m,m)(),则.  

解得 (舍去).………4分

所以OE=.………………………5分

所以.

所以OE=EG.  ……………………………………6分

(3)设点H的坐标为(p,q)(,),

由于点H在抛物线上,

所以,即.

因为,…8分

所以OH=2–q.

所以OK=OH=2–q.

所以CK=2－(2－q)=q=IH.          ……………………………………9分

因为CJ=OI, ∠OIH=∠JCK=90º,

所以△OHI≌△JKC.…………………………10分