Question

如图1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R．

①求证：PB＝PS；

②判断△SBR的形状；

③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

⑴【解析】
方法一：

∵B点坐标为(0．2)，

∴OB＝2，

∵矩形CDEF面积为8，

∴CF=4.

∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。

设抛物线的解析式为．

其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。

得

解这个方程组，得

∴此抛物线的解析式为    …………    (3分)

方法二：

 ∵B点坐标为(0．2)，

∴OB＝2，

∵矩形CDEF面积为8，

∴CF=4.

∴C点坐标为(一2，2)。  ………    (1分)

  根据题意可设抛物线解析式为。

  其过点A(0，1)和C(-2．2)

  ………

  解这个方程组，得

  此抛物线解析式为

(2)【解析】

①过点B作BN，垂足为N．

  ∵P点在抛物线y=十l上．可设P点坐标为．

  ∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。

∴PN=PS—NS= ………………………… (5分)

  在RtPNB中．

  PB＝

∴PB＝PS＝………………………… (6分)

②根据①同理可知BQ＝QR。

∴，

又∵ ，

∴，

同理SBP＝………………………… (7分)

∴

∴

∴.

∴ △SBR为直角三角形．………………………… (8分)

③方法一：

设，

∵由①知PS＝PB＝b．，。

∴

∴。………………………… (9分)

假设存在点M．且MS＝，别MR＝ 。

若使△PSM∽△MRQ，

则有。

即

∴。

∴SR＝2

∴M为SR的中点.………………………… (11分)

若使△PSM∽△QRM，

则有。

∴。

∴。

∴M点即为原点O。

  综上所述，当点M为SR的中点时．PSM∽MRQ；当点M为原点时，PSM∽MRQ．………………………… (13分)

方法二：

  若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，

∵，

∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。

  当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．

  由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝。

∴。………………………… (9分)

  取PQ中点为N．连结MN．则MN＝PQ=．…………………… (10分)

∴MN为直角梯形SRQP的中位线,

∴点M为SR的中点  …………………… (11分)

当△PSM∽△QRM时，

又，即M点与O点重合。

∴点M为原点O。

综上所述，当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ；当点M为原点时，PSM∽△QRM………   (13分)

 【解析】略