Question

（11·漳州）（满分14分）如图1，抛物线y＝mx²－11mx＋24m (m＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．

（1）填空：OB＝_   ▲   ，OC＝_   ▲   ；

（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；

（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

Answer

【解析】
（1）OB＝3，OC＝8                                                 ………………4分

（2）连接OD，交OC于点E

∵四边形OACD是菱形

∴AD⊥OC，OE＝EC＝ ×8＝4

∴BE＝4－3＝1

又∵∠BAC＝90°，

∴△ACE∽△BAE

∴＝

∴AE2＝BE·CE＝1×4

∴AE＝2                                                      ………………6分

∴点A的坐标为 (4，2)                                         ………………7分

把点A的坐标 (4，2)代入抛物线y＝mx2－11mx＋24m，得m＝－

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x－12                           ………………9分

（3）∵直线x＝n与抛物线交于点M

∴点M的坐标为 (n，－n2＋n－12)

由（2）知，点D的坐标为（4，－2），

则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y＝x－4

∴点N的坐标为 (n，n－4)

∴MN＝（－n2＋n－12）－（n－4）＝－n2＋5n－8            ………………11分

∴S四边形AMCN＝S△AMN＋S△CMN＝MN·CE＝（－n2＋5n－8）×4

          ＝－(n－5)2＋9                                      ………………13分

∴当n＝5时，S四边形AMCN＝9                                     ………………14分

【解析】略