Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点，在反比例函数（m为常数）的图象G上，连接AO并延长与图象G的另一个交点为点C，过点A的直线l与x轴的交点为点，过点C作CE∥x轴交直线l于点E．

（1）求m的值及直线l对应的函数表达式；

（2）求点E的坐标；

（3）求证：∠BAE=∠ACB．

Answer

（1），；（2）；（3）证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）∵ 点A在反比例函数（m为常数）的图象G上，可得到m的值．设直线l对应的函数表达式为（k，b为常数，k≠0）．由 直线l经过点，，可求得直线l对应的函数表达式；

（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为，由 CE∥x轴交直线l于点E，得到点E的坐标为；

（3）如图，作AF⊥CE于点F，与过点B的y轴的垂线交于点G，BG交AE于点M，作CH⊥BG 于点H，则BH∥CE，∠BCE=∠CBH，先求出点F的坐标，得到 CF=EF，AC=AE，故有∠ACE =∠AEC．由于点在图象G上，故可得B、G、H的坐标．在Rt△ABG中，求出tan∠ABH，在Rt△BCH中，求出tan∠CBH，可以得到∠ABH=∠CBH，∠BCE=∠ABH，从而有∠BAE=∠ACB．

试题解析：【解析】
（1）∵ 点在反比例函数（m为常数）的图象G上，∴ ．

∴ 反比例函数（m为常数）对应的函数表达式是．

设直线l对应的函数表达式为（k，b为常数，k≠0）．∵ 直线l经过点，，∴ ，解得，∴ 直线l对应的函数表达式为；

（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为，∵ CE∥x轴交直线l于点E，∴ ，∴ 点E的坐标为；

（3）如图，作AF⊥CE于点F，与过点B的y轴的垂线交于点G，BG交AE于点M，作CH⊥BG 于点H，则BH∥CE，∠BCE=∠CBH，

∵ ，，，∴ 点F的坐标为，∴ CF=EF，∴ AC=AE，∴ ∠ACE =∠AEC．∵ 点在图象G上，∴ ，∴ ，，．在Rt△ABG中，tan∠ABH=，在Rt△BCH中，tan∠CBH=，∴∠ABH=∠CBH，∴∠BCE=∠ABH，∵∠BAE=∠AMH－∠ABH=∠AEC－∠ABH，∠ACB=∠ACE－∠BCE，∴∠BAE=∠ACB．

考点：反比例函数综合题．