2012-2013学年北京市十一学校高三（上）暑期检测数学试卷3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知θ∈[]，则可化简为（ ）
A．2sinθ
B．-2sinθ
C．-2cosθ
D．2cosθ

2. 难度：中等

下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y=2^1-x
B．
C．y=lg（x-1）
D．y=x+

3. 难度：中等

已知函数f（x）=是奇函数，则a的所有取值为（ ）
A．3
B．1
C．-1
D．±1

4. 难度：中等

定积分-sinxdx的值为（ ）
A．0
B．2
C．
D．

5. 难度：中等

已知tan（α-）=，则tan2α的值为（ ）
A．-
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知奇函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且对任意正实数x₁、x₂（x₁≠x₂），恒
有，则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下面关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数 
②f（x）关于直线x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上是减函数；   
⑤f（2）=f（0）．
其中正确判断的序号为（ ）
A．①②
B．①②⑤
C．①②③④
D．①②③④⑤

8. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且函数y=f（x-1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²）．则当1≤s≤4时，的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

设函数f（lgx）的定义域为[0.1，100]，则函数f（）的定义域为    ．

10. 难度：中等

tan20°+4sin20°的值为    ．

11. 难度：中等

函数y=的单调递增区间是    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x+cosx，，过其图象上一点的切线的斜率为k，则k的取值范围是    ．

13. 难度：中等

若函数y=f（x）满足f′（x）＞f（x），则f（2012）与e²⁰¹²f（0）的大小关系为    ．

14. 难度：中等

已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2，若同时满足条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
则m的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，且满足cosA=，b=3c
（1）若c=1，求△ABC的面积；
（2）求sinC的值．

16. 难度：中等

设a＞0，a≠1，若函数y=a^2x+2a^x-1在区间[-1，1]上的最大值是14，求a的值．

17. 难度：中等

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．今年暑假我校学生公寓建造了可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元．学生公寓每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为10万元．设f（x）为隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和．
（1）求k的值及f（x）的表达式；
（2）我校做到了使总费用f（x）达到最小，请你计算学生公寓隔热层修建的厚度和总费用的最小值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx （k＞0）有且仅有五个公共点，公共点的横坐标的最大值为α，
证明：．

19. 难度：中等

已知向量=（sinωx，1），=（ωx，ωx）（A＞0，ω＞0），函数f（x）=的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的单调递减区间；
（2）求函数g（x）在上的值域．

20. 难度：中等

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=1时，f（x）的单调性、极值；
（2）设g（x）=x²-x+3b²-2b．当a=1时，若对任意x₁∈（0，e]，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求b的取值范围；
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．