2011-2012学年福建省莆田一中高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=2^x+3x的零点所在的一个区间是（ ）
A．（-2，-1）
B．（-1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）

2. 难度：中等

设{a_n}是有正数组成的等比数列，S_n为其前n项和．已知a₂a₄=1，S₃=7，则S₅=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=（ ）
A．8
B．4
C．2
D．1

4. 难度：中等

设椭圆以正方形的两个顶点为焦点且过另外两个顶点，那么此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．或

5. 难度：中等

E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

广告费用x（万元）	4	2	3	5
销售额y（万元）	49	26	39	54

根据上表可得回归方程中的为9，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A．63.5万元
B．64.5万元
C．67.5万元
D．71.5万元

7. 难度：中等

在△ABC中，下列说法不正确的是（ ）
A．sinA＞sinB是a＞b的充要条件
B．cosA＞cosB是A＜B的充要条件
C．a²+b²＜c²的必要不充分条件是△ABC为钝角三角形
D．a²+b²＞c²是△ABC为锐角三角形的充分不必要条件

8. 难度：中等

将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知F₁、F₂为双曲线C：x²-y²=1的左、右焦点，点p在C上，∠F₁pF₂=60°，则P到x轴的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

直线：y=与圆心为D的圆：交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

若为R上的增函数，则a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

抛物线y²=2px的焦点为F，一直线交抛物线于A，B且，则该直线的倾斜角为    ．

13. 难度：中等

某三棱锥有五条棱的长度都为2，则当该三棱锥的表面积最大时其体积为    ．

14. 难度：中等

若在区间[1，2]上为单调函数，则a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x²+y²=r²（r＞0）内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若=a•+b•（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设a∈R，满足=f（0），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在上的最大值和最小值．

17. 难度：中等

抛物线C：y=ax²的准线为y=，PM，PN切抛物线于M，N且与X轴交于A，B，|AB|=1．
（1）求a的值；
（2）求P点的轨迹．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，E，F分别是BC，PC的中点，FD⊥面ABCD且FD=1．
（1）证明：PA=PD；
（2）证明：AD⊥PB；
（3）求AP与面DEF所成角的正弦值；
（4）求二面角P-AD-B的余弦值．

19. 难度：中等

某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．
（1）求ξ的分布列；
（2）求ξ的数学期望．

20. 难度：中等

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①≤a_n+1，②a_n≤M．其中n∈N⁺，M是与n无关的常数．
（1）设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2ⁿ，证明：{b_n}∈W；
（2）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₄=2，S₄=20，证明：{S_n}∈W并求M的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（1）若，求a的值；
（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得成立？并给予证明；
（3）结合定积分的几何意义说明（2）的几何意义．