2012-2013学年浙江省杭州高级中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|x²-1＞0}，B={x|log₂x＜1}，则A∩B等于（ ）
A．{x|x＜-1}
B．{x|0＜x＜2}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|1＜x＜2或x＜-1}

2. 难度：中等

函数的单调递减区间是（ ）
A．（5，+∞）
B．（3，+∞）
C．（-∞，1）
D．（-∞，3）

3. 难度：中等

下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若x²-3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x²-3x+2≠0”
B．“x=1”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
D．对于命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x²+x+1≥0

4. 难度：中等

已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x）满足f（5+x）=f（-x），（x-）f′（x）＞0，已知x₁＜x₂，则f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要

7. 难度：中等

已知非零向量、满足|+|=|-|=||，则+与-的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

8. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1的导函数 为f′（x），f′（0）＞0，f（x）与x轴恰有一个交点，则的最小值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．

9. 难度：中等

当x∈（-2，-1）时，不等式（x+1）²＜log_a|x|恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞﹚
B．（1，3）
C．（1，2]
D．（0，1）

10. 难度：中等

已知函数f（x）满足：f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=（ ）
A．
B．
C．
D．1

二、填空题

11. 难度：中等

已知sin（-x）=，则sin2x的值为     ．

12. 难度：中等

函数f（x）=lg（sin²x-cos²x）的定义域是    ．

13. 难度：中等

已知函数在（0，1）上不是单调函数，则实数a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

已知在平面直角坐标系中，A（-2，0），B（1，3），O为原点，且，（其中α+β=1，α，β均为实数），若N（1，0），则的最小值是    ．

15. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=    ．

16. 难度：中等

若函数y=log_a（x²-ax+1）有最小值，则a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2．若∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26．{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a，b的值．

20. 难度：中等

已知点O为△ABC的外心，角A，B，C的对边分别满足a，b，c，
（I）若3+4+5=，求cos∠BOC的值；
（II）若•=•，求的值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数h（x）=x²-mx+4，当a=2时，若∃x₁∈（0，1），∀x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

已知a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数的定义域为[a，b]．
（1）当k=0时，求函数f（x）的值域；
（2）证明：函数f（x）在其定义域[a，b]上是增函数；
（3）在（1）的条件下，设函数，若对任意的，总存在，使得f（x₂）=g（x₁）成立，求实数m的取值范围．