2009-2010学年广东省广州市执信中学高一（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．很小的实数可以构成集合
B．集合{y|y=x²-1}与集合{（x，y）|y=x²-1}是同一个集合
C．自然数集N中最小的数是1
D．空集是任何集合的子集

2. 难度：中等

下列各式错误的是（ ）
A．3^0.8＞3^0.7
B．log_0..50.4＞log_0..50.6
C．0.75^-0.1＜0.75^0.1
D．lg1.6＞lg1.4

3. 难度：中等

下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．y=x-1和
B．y=x和y=1
C．f（x）=x²和g（x）=（x+1）²
D．和

4. 难度：中等

化简的结果为（ ）
A．5
B．
C．-
D．-5

5. 难度：中等

设f（x）=3^x+3x-8，用二分法求方程3^x+3x-8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25）
B．（1.25，1.5）
C．（1.5，2）
D．不能确定

6. 难度：中等

设集合A={x|0＜log₂x＜1}，B={x|x＜a}．若A⊆B，则a的范围是（ ）
A．a≥2
B．a≤1
C．a≥1
D．a≤2

7. 难度：中等

下列幂函数中，过点（0，0），（1，1）的偶函数的是（ ）
A．
B．y=x⁴
C．y=x^-2
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-a）（x-b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a^x+b^x的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如果一个函数f（x）满足（1）定义域为R；（2）任意x₁，x₂∈R，若x₁+x₂=0，则f（x1）+f（x2）=0；（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．则f（x）可以是（ ）
A．y=-
B．y=3^x
C．y=x³
D．y=log₃

10. 难度：中等

如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（m²）与时间t（月）的关系：y=a^t，有以下叙述：
①这个指数函数的底数是2；
②第5个月时，浮萍的面积就会超过30m²；
③浮萍从4m²蔓延到12m²需要经过1.5个月；
④浮萍每个月增加的面积都相等；
其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①②③④
C．②③④
D．①②

二、填空题

11. 难度：中等

=    ．

12. 难度：中等

的定义域为    ．

13. 难度：中等

设a=0.3²，b=2^0.5，，试比较a、b、c大小关系     （用“＜”连接）

14. 难度：中等

函数y=f（x）的图象与函数y=log₃x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=    ．

15. 难度：中等

函数的单调递增区间为    ．

16. 难度：中等

某同学在研究函数 f （x）=（x∈R） 时，分别给出下面几个结论：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数 f （x） 的值域为 （-1，1）；
③若x₁≠x₂，则一定有f （x₁）≠f （x₂）；
④方程f（x）-x=0有三个实数根．
其中正确结论的序号有    ．（请将你认为正确的结论的序号都填上）

三、解答题

17. 难度：中等

已知A={x|-1＜x＜2}，B={x|2^x＞1}
（1）求A∩B和A∪B；
（2）若记符号A-B={x|x∈A，且x∉B}，
①在图中把表示“集合A-B”的部分用阴影涂黑；
②求A-B和B-A．

18. 难度：中等

已知函数f（x）为定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=log₂（x+1）
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数，并指出f（x）的值域．（不要求证明）

19. 难度：中等

探究函数的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下，请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．

x	…	0.5	1	1.5	1.7	2	2.1	2.3	3	4	7	…
y	…	64.25	17	9.36	8.43	8	8.04	8.31	10.7	17	49.33	…

已知：函数在区间（0，2）上递减，问：
（1）函数在区间______上递增．当x=______时，y_最小=______．
（2）证明：函数在区间（0，2）递减；
（3）思考：函数有最大值或最小值吗？如有，是多少？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

20. 难度：中等

设f（x）=4x²-4（a+1）x+3a+3（a∈R），若f（x）=0有两个均小于2的不同的实数根，则此时关于x的不等式（a+1）x²-ax+a-1＜0是否对一切实数x都成立？请说明理由．

21. 难度：中等

季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．
（1）试建立价格P与周次t之间的函数关系式．
（2）若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q=-0.125（t-8）²+12，t∈[0，16]，t∈N^*，试问该服装第几周每件销售利润L最大？（注：每件销售利润=售价-进价）

22. 难度：中等

已知函数
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明；
（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]的定义域区间[α，β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出[α，β]，若不存在，请说明理由．