2009-2010学年广东省广州市执信中学高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知a₂=3，a₆=11，则S₇等于（ ）
A．13
B．35
C．49
D．63

2. 难度：中等

如果5个数x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的方差是7，则3+x₁，3+x₂，3+x₃，3+x₄，3+x₅这5个数的方差是（ ）
A．63
B．21
C．14
D．7

3. 难度：中等

一个空间几何体的正视图、侧视图是两个边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）

A．1
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知a∈R，则“a＞2”是“a²＞2a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图所示的算法流程图中（注：“A=1”也可写成“A：=1”或“A←1”，均表示赋值语句），第3个输出的数是（ ）
A．1
B．
C．2
D．

7. 难度：中等

若方程表示椭圆，则k的取值范围是（ ）
A．（5，9）
B．（5，+∞）
C．（1，5）∪（5，9）
D．（-∞，9）

8. 难度：中等

幂函数y=x^α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x^α，y=x^β的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=（ ）

A．1
B．2
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

命题“∃x∈R使x²+2x+1＜0”的否定是    ．

10. 难度：中等

=    ．

11. 难度：中等

若直线（t为参数）与直线（s为参数）垂直，则k=    ．

12. 难度：中等

已知实数x，y满足，则z=2x-y的最大值为    ．

13. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，圆ρ=1上的点到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离的最小值是    ．

14. 难度：中等

若点O在三角形ABC内，则有结论S_△OBC•+S_△OAC•+S_△OAB•=，把命题类比推广到空间，若点O在四面体ABCD内，则有结论：    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）且0＜α＜π
（1）若，求与的夹角；
（2）若，求cosα的值．

16. 难度：中等

如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O．OC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点．
（1）求证：BC与SA不可能垂直；
（2）设圆锥的高为4，异面直线AD与BC所成角的余弦值为，求圆锥的体积．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为的圆C经过坐标原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在直线l：x-y-m=0与圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点恰在抛物线x²=4y上，若l存在，请求出m的值，若l不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

已知函数在x=-1时取得极值．
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）求f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

设有抛物线C：y=-x²+x-4，通过原点O作C的切线y=mx，使切点P在第一象限．
（1）求m的值，以及P的坐标；
（2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q；
（3）设C上有一点R，其横坐标为t，为使DOPQ的面积小于DPQR的面积，试求t的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若n∈N^*，证明：．