2007-2008学年北京市海淀区高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

经过A（1，3）、B（0，5）两点的直线的斜率是（ ）
A．2
B．
C．-2
D．-

2. 难度：中等

若a、b∈R，a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．ab＞b²
B．a²＞b²
C．＜
D．a+b＞2b

3. 难度：中等

如果直线mx+2y-1=0与x+y-3=0互相垂直，那么m的值等于（ ）
A．1
B．-
C．-2
D．-

4. 难度：中等

和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（ ）
A．3x+4y-5=0
B．3x+4y+5=0
C．-3x+4y-5=0
D．-3x+4y+5=0

5. 难度：中等

过点A（4，2）向圆（θ为参数）引切线，则切线方程是（ ）
A．4x-3y-10=0或x=4
B．4x-3y-10=0或y=2
C．3x+4y-20=0或y=2
D．3x+4y-20=0或x=4

6. 难度：中等

直线x+y-m=0与圆x²+y²=1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜
B．-＜m＜
C．1≤m＜
D．-≤m≤

7. 难度：中等

“x＞0”是“|x-1|-|x|≤1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要

8. 难度：中等

已知圆A：x²+y²+4x-4y+7=0，B为圆A上一动点，过点B作圆A的切线交线段OB（O为坐标原点）的垂直平分线于点P，则点P到原点的距离的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知x＞0，则-2+x+的最小值是    ．

10. 难度：中等

已知有两条直线x+my+6=0和（m-2）x+3y+2m=0互相平行，则实数m的值为    ．

11. 难度：中等

将直线y=0绕点（-1，0）顺时针旋转60°得到直线l，则直线l的方程是    ；直线l在y轴上的截距是    ．

12. 难度：中等

设变量x、y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最大值为    ；在平面直角坐标系中，该约束条件所表示的平面区域的面积为    ．

13. 难度：中等

某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用之和的最小值为    万元．

14. 难度：中等

如果存在实数x，y，z，使得x＞y＞z，且成立，则实数a的最大值是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

解下列不等式；
（1）|x²+3x-8|＞10；（2）5-2x≤．

16. 难度：中等

已知△ABC的顶点是A（-3，0）、B（2，1）、C（-2，3）．
求：（1）BC边上的高所在的直线的方程；（2）以线段AB为直径的圆的方程．

17. 难度：中等

（1）已知x＞0，y＞0，求证；（2）已知a、b是正数，求证＞a．

18. 难度：中等

在如图所示的平面直角坐标系中，三角形AOB是腰长为2的等腰直角三角形，动点P与点O位于直线AB的两侧，且∠APB=．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过点P作PH⊥OA交OA于H，求△OHP得周长的最大值及此时P点得坐标．

19. 难度：中等

已知两条互相平行的直线l₁，l₂之间的距离为常数a，这两条直线与边长为1的正方形的四条边分别交于点M，N，P，Q（按逆时针方向排列且均不与正方形的顶点重合）．
（理科生做）试问是否存在常数a，使得四边形MNPQ的两条对角线的夹角θ为定值？若存在，求出所有的常数a及相应的θ的值；若不存在，说明理由．
（文科生做）当a=时，四边形MNPQ的两条对角线的夹角θ是否为定值？若是，求出θ的值；若不是，说明理由．