2010-2011学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若集合M={-1，m²}，集合N={2，4}，则“m=2”是“M∩N={4}”的    ．（填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）

2. 难度：中等

命题“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是     ．

3. 难度：中等

下列命题中：①；②∀x∈R，e^x≥0；③∃x∈Z，61=-3x+2；④∃x∈R，3x²-6x+4=0．其中真命题的个数是    ．

4. 难度：中等

椭圆的离心率为，则m=    ．

5. 难度：中等

已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC=30°，则∠PQR等于    ．

6. 难度：中等

棱长为2的正方体外接球的表面积是    ．

7. 难度：中等

三条直线经过同一点，过每两条作一个平面，则可以作    个不同的平面．

8. 难度：中等

椭圆 x²+my²=1（0＜m＜1）的离心率为，则它的长轴长是    ．

9. 难度：中等

给出四个命题：①线段AB在平面α内，则直线AB不在α内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合．其中正确命题的个数 为    ．

10. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为    ．

11. 难度：中等

如果规定：“x=y，y=z，则x=z”叫做x，y，z关于等量关系具有传递性，那么空间三直线 a，b，c关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是    ．

12. 难度：中等

已知高为3的直棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B-AB₁C的体积为    ．

13. 难度：中等

圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是    cm．

14. 难度：中等

如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，P₆，P₇七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|+|P₆F|+|P₇F|=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知命题p：不等式|x-1|＞m-1的解集为R，命题q：f（x）=-（5-2m）^x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

16. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈BB₁，F是AC的中点，截面A₁EC⊥侧面AC₁．求证：BF∥平面A₁EC．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD中为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB．

18. 难度：中等

已知命题：“∃x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x²-x-m=0成立”是真命题，
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．

19. 难度：中等

设椭圆=1的两焦点为F₁、F₂，长轴两端点为A₁、A₂．
（1）P是椭圆上一点，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积；
（2）若椭圆上存在一点Q，使∠A₁QA₂=120°，求椭圆离心率e的取值范围．

20. 难度：中等

椭圆C₁：=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B．点P双曲线C₂：=1在第一象限内的图象上一点，直线AP、BP与椭圆C₁分别交于C、D点．若△ACD与△PCD的面积相等．
（1）求P点的坐标；
（2）能否使直线CD过椭圆C₁的右焦点，若能，求出此时双曲线C₂的离心率，若不能，请说明理由．