2008-2009学年北京二中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x|x²-x＜0}，N={x||x|＜2}，则（ ）
A．M∩N=Φ
B．M∩N=M
C．M∪N=M
D．M∪N=R

2. 难度：中等

若向量a，b满足|a|=，|b|=2，（a-b）⊥a，则向量a与b的夹角等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如图是函数与y=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0，|ϕ|＜）的图象，那么（ ）

A．ω=2，ϕ=-
B．ω=2，ϕ=
C．ω=
D．

4. 难度：中等

在数列{a_n}中，a_n+1=ca_n（c为非零常数），前n项和为S_n=3ⁿ+k，则实数k为（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

5. 难度：中等

已知在区间（0，+∞）上函数f（x）是减函数，且当x＞0时，f（x）＞0，若0＜a＜b，则（ ）
A．bf（a）＜af（b）
B．af（a）＜f（b）
C．af（b）＜bf（a）
D．bf（b）＜f（a）

6. 难度：中等

点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的（ ）
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点

7. 难度：中等

下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y=sin2
B．y=e^-|x|
C．
D．

8. 难度：中等

如果α，β∈（，π）且tanα＜cotβ，那么必有（ ）
A．α＜β
B．β＜α
C．π＜α+β＜
D．α+β＞

9. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁＞0，若存在自然数p≥10，使得S_p=a_p，则当n＞p时，S_n与a_n的大小关系是（ ）
A．a_n＞S_n
B．a_n≥S_n
C．a_n＜S_n
D．a_n≤S_n

10. 难度：中等

f（x）是定义在区间[-c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（ ）

A．若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称
B．若a=-1，-2＜b＜0，则方程g（x）=0有大于2的实根
C．若a≠0，b=2，则方程g（x）=0有两个实根
D．若a≥1，b＜2，则方程g（x）=0有三个实根

二、填空题

11. 难度：中等

函数y=cos2x+2sinx的最大值是    ．

12. 难度：中等

已知函数，则不等式f（x）≤3的解集是    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O是原点，已知A（-3，-1），B（4，1），C（4，-3），则向量在方向上的投影是    ．

14. 难度：中等

已知的最小值是    ．

15. 难度：中等

关于函数，有下列命题：
①把函数f（x）的图象按向量平移后，可得y=cos2x的图象；
②函数f（x）的图象关于点对称；
③函数f（x）的图象关于直线对称；
④把函数f（x）的图象上每个点的横坐标缩小到原来的，得到函数的图象，
其中正确的命题序号为    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}（n∈N^*）满足：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）．定义：使a₁a₂…a_k为整数的k值（k∈N^*）叫“理想数”，则区间[1，2009]内所有“理想数”的和是    ．（注：必要时可利用公式）

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量．
（1）当时，求x值的集合；
（2）设函数f（x）=（a-c）²，①求f（x）的最小正周期；②写出函数f（x）的单调增区间；③写出函数f（x）的图象的对称轴方程．

18. 难度：中等

已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=，sin（A-B）=．
（Ⅰ）求证：tanA=2tanB；
（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（1）求为数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）²ⁿ⁺¹a_2na_2n+1，求T_n．
（3）令b_n=对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

20. 难度：中等

已知f（x）=ln（x+1），，
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=0，b=1时，求证：f（x）-g（x）≤0对于x∈（-1，+∞）恒成立；
（III）证明：若0＜x＜y，则．