2011-2012学年天津市六校高三第三次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数，则实数a的值是（ ）
A．-
B．
C．
D．-

2. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

3. 难度：中等

若某程序框图如图所示，则输出的p的值是（ ）

A．21
B．26
C．30
D．55

4. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，4（a₃+a₄+a₅）+3（a₆+a₈+a₁₄+a₁₆）=36，那么该数列的前14项和为（ ）
A．20
B．21
C．42
D．84

5. 难度：中等

若的展开式中，只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A．120
B．220
C．462
D．210

6. 难度：中等

设F是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C₂：的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若x∈（e^-1，1），a=lnx，，c=e^lnx，则（ ）
A．b＞c＞a
B．c＞b＞a
C．b＞a＞c
D．a＞b＞c

8. 难度：中等

设y=f（x）在（-∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义，给出函数f（x）=2^x+1-4^x，若对于任意x∈（-∞，1]，恒有f_k（x）=f（x），则（ ）
A．K的最大值为0
B．K的最小值为0
C．K的最大值为1
D．K的最小值为1

二、填空题

9. 难度：中等

某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为    ．

10. 难度：中等

如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是    ．

11. 难度：中等

若曲线C₁：（θ为参数，r＞0）与曲线C₂：（t为参数）有公共点，则r的取值范围是    ．

12. 难度：中等

如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E．若，∠APB=30°，则AE=    ．

13. 难度：中等

如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表．

x	-1		4	5
f（x）	1	2	2	1

f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：
下列关于f（x）的命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点；
⑤函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=7sinxcosx+7sin²x-，x∈R．
（Ⅰ）若f（x）的单调区间（用开区间表示）；
（Ⅱ）若f（）=1+4，f（）=2，求sin（）的值．

16. 难度：中等

盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得-1分．现从盒内任取3个球
（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD上一点，PE=2ED．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

18. 难度：中等

已知曲线都过点A（0，-1），且曲线C₁所在的圆锥曲线的离心率为．
（Ⅰ）求曲线C₁和曲线C₂的方程；
（Ⅱ）设点B，C分别在曲线C₁，C₂上，k₁，k₂分别为直线AB，AC的斜率，当k₂=4k₁时，问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

19. 难度：中等

已知数列O、{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）设T_n=S_2n-S_n，求证：，T_n+1＞T_n；
（Ⅲ）求证：对任意的1•k+1+k²=3，k∈R^*，∴k=1都有成立．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若方程f （x）=在[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71 828…）
（Ⅲ）设常数p≥1，数列{a_n}满足a_n+1=a_n+ln（p-a_n）（n∈N*），a₁=lnp，求证：a_n+1≥a_n．