Question

已知曲线都过点A（0，-1），且曲线C₁所在的圆锥曲线的离心率为．
（Ⅰ）求曲线C₁和曲线C₂的方程；
（Ⅱ）设点B，C分别在曲线C₁，C₂上，k₁，k₂分别为直线AB，AC的斜率，当k₂=4k₁时，问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由已知曲线都过点A（0，-1），且曲线C1所在的圆锥曲线的离心率为，可确定相应几何量，从而可得曲线C1和曲线C2的方程；
（Ⅱ）将直线AB，AC的方程分别与椭圆、圆联立，进而可求点B，C的坐标，从而可得直线BC的方程，进而可知过定点．
【解析】
（Ⅰ）由已知曲线C1和曲线C2都过点A（0，-1），得b2=1，r2=1．                        …（2分）
∵曲线C1所在的圆锥曲线的离心率为．
∴a2=4，
∴曲线C1的方程为（x≥0）．                          …（3分）
曲线C2的方程为x2+y2=1（x≥0）．                               …（4分）
（Ⅱ）将y=k1x-1代入，得．…（5分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1=0，，．
所以．                                         …（7分）
将y=k2x-1代入x2+y2=1，得．
设C（x3，y3），则，，
所以．                                           …（9分）
因为k2=4k1，所以
则直线BC的斜率，…（11分）
所以直线BC的方程为：，即．…（12分）
故BC过定点（0，1）．                                              …（13分）