2013年上海市长宁、嘉定区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为    ．

2. 难度：中等

若关于x的不等式2x²-3x+a＜0的解集为（m，1），且实数f（1）＜0，则m=    ．

3. 难度：中等

（文）已知集合A={-1，0，a}，B={x|1＜3^x＜9，x∈Z}，若A∩B≠∅，则实数a的值是    ．

4. 难度：中等

已知复数z满足（i为参数单位），则复数z的实部与虚部之和为    ．

5. 难度：中等

求值：=    ．

6. 难度：中等

已知向量不超过5，则k的取值范围是     ．

7. 难度：中等

设a＞0，a≠1，行列式中第3行第2列的代数余子式记作y，函数y=f（x）的反函数图象经过点（2，1），则a=    ．

8. 难度：中等

已知，且，则sinα=    ．

9. 难度：中等

（理）如图是一个算法框图，则输出的k的值是    ．

10. 难度：中等

（文）设函数的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积    ．

11. 难度：中等

（文）从4名男生和3名女生中任选3人参加会议，则选出3人中至少有1名女生的概率是    ．

12. 难度：中等

（文）函数f（x）=|x²-4|+x²-4x的单调递减区间是    ．

13. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件．若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

（文）设数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=2，a₃=6，若自然数n₁，n₂，…n_k，…满足3＜n₁＜n₂＜…＜n_k＜…，且是等比数列，则n_k=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知A（a₁，b₁），B（a₂，b₂）是坐标平面上不与原点重合的两个点，则的充要条件是（ ）
A．
B．a₁a₂+b₁b₂=0
C．
D．a₁b₂=a₂b₁

16. 难度：中等

关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m
B．若l∥α，m∥α，则l∥m
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α

17. 难度：中等

过点P（1，1）作直线与双曲线交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线（ ）
A．存在一条，且方程为2x-y-1=0
B．存在无数条
C．存在两条，方程为2x±（y+1）=0
D．不存在

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x-1，g（x）=1-x²，构造函数F（x），定义如下：当|f（x）|≥g（x）时，F（x）=|f（x）|，当|f（x）|＜g（x）时，F（x）=-g（x），那么F（x）（ ）
A．有最小值0，无最大值
B．有最小值-1，无最大值
C．有最大值1，无最小值
D．无最小值，也无最大值

三、解答题

19. 难度：中等

如图，已知点P在圆柱OO₁的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO₁的表面积为24π，OA=2，∠AOP=120°．
（1）求三棱锥A₁-APB的体积．
（2）求异面直线A₁B与OP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

20. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对应的边a，b，c成等比数列．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．

21. 难度：中等

函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的取值范围．

22. 难度：中等

如图，已知点F（0，1），直线m：y=-1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）（文）过轨迹C的准线与y轴的交点M作方向向量为=（a，1）的直线m′与轨迹C交于不同两点A、B，问是否存在实数a使得FA⊥FB？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由；
（3）（文）在问题（2）中，设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D（0，y），求y的取值范围．

23. 难度：中等

（文）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意n∈N^*，总有S_n=2（a_n-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成等差数列，当公差d满足3＜d＜4时，求n的值并求这个等差数列所有项的和T；
（3）记a_n=f（n），如果（n∈N^*），问是否存在正实数m，使得数列{c_n}是单调递减数列？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．