Question

（文）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意n∈N^*，总有S_n=2（a_n-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成等差数列，当公差d满足3＜d＜4时，求n的值并求这个等差数列所有项的和T；
（3）记a_n=f（n），如果（n∈N^*），问是否存在正实数m，使得数列{c_n}是单调递减数列？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）当n=1时，可求得a1=2，当n≥2时Sn-1=2（an-1-1），与已知关系式相减，可求得an=2an-1，利用等比数列的概念即可求得数列{an}的通项公式；
（2）由题意，an+1=an+（n+1）d，可求得d=，利用3＜d＜4，可求得d=，从而可知等差数列首项为16，公差为，共有6项，利用等差数列的求和公式即可求得所有项的和T；
（3）（1）知f（n）=2n，依题意可求得cn=n•m2n，由cn+1＜cn，可求得m2＜1-对任意n∈N*成立，构造函数g（n）=1-，利用g（n）在n∈N*上单调递增的性质，得m的取值范围是（0，）时，数列{cn}是单调递减数列．
【解析】
（1）当n=1时，由已知a1=2（a1-1），得a1=2．
当n≥2时，由Sn=2（an-1），Sn-1=2（an-1-1），两式相减得an=2an-2an-1，
即an=2an-1，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，an=2n（n∈N*）．
（2）由题意，an+1=an+（n+1）d，故d=，即d=，
因为3＜d＜4，
所以3＜＜4，即3n+3＜2n＜4n+4，解得n=4，
所以d=．所以所得等差数列首项为16，公差为，共有6项．
所以这个等差数列所有项的和T==144．
所以，n=4，T=144．
（3）由（1）知f（n）=2n，
所以cn=n•f（n•）=n•=n•=n•=n•=n•m2n．
由题意，cn+1＜cn，即（n+1）•m2n+2＜n•m2n对任意n∈N*成立，
所以m2＜1-对任意n∈N*成立．
因为g（n）=1-在n∈N*上是单调递增的，所以g（n）的最小值为g（1）=．
所以m2＜．由m＞0得m的取值范围是（0，）．
所以，当m∈（0，）时，数列{cn}是单调递减数列．