2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷08（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

全集U=R，A={x|x²＞4}，B={x|log₃x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＜-2}
B．{x|2＜x＜3}
C．{x|x＞3}
D．{x|x＜-2或2＜x＜3}

2. 难度：中等

某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）
A．32
B．36
C．18
D．86

3. 难度：中等

已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面a、β，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若m⊥a，n⊥β，a⊥β，则m⊥n
B．若m⊥a，n∥β，a⊥β，则m⊥n
C．若m∥a，n∥β，a∥β，则m∥n
D．若m∥a，n⊥β，a⊥β，则m∥n

4. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（ ）

A．n＞10
B．n≤10
C．n＜9
D．n≤9

5. 难度：中等

已知函数有两个零点x₁，x₂，则有（ ）
A．x₁x₂＜0
B．x₁x₂=1
C．x₁x₂＞1
D．0＜x₁x₂＜1

6. 难度：中等

双曲线x²-=1的左右焦点为F₁，F₂，过点F₂的直线l与右支交于点P，Q，若|PF₁|=|PQ|，则|PF₂|的值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10

7. 难度：中等

数列{a_n}满足a_n+a_n+1=（n∈N^*），a₂=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₂₁为（ ）
A．
B．
C．6
D．10

8. 难度：中等

已知△ABC中，条件甲：tanA=，条件乙：△ABC为等边三角形，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

9. 难度：中等

设O为△ABC的外心，且，则△ABC的内角C=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若函数f（x）=|2x-1|，则函数g（x）=f（f（x））+lnx在[0，1]上的不同零点个数为（ ）
A．2
B．5
C．4
D．3

二、填空题

11. 难度：中等

计算=    ．

12. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则s的取值范围是     ．

13. 难度：中等

在集合{（x，y）|0≤x≤5且0≤y≤4，x∈Z，y∈Z}内任取1个元素，能使代数式成立的概率是    ．

14. 难度：中等

一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图如图所示，则容器的容积为    ．

15. 难度：中等

二项式的展开式中x³的系数为10，则实数m等于    ．

16. 难度：中等

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为    ．

17. 难度：中等

将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它们赋以编号l，2，…，8．则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有    种．

三、解答题

18. 难度：中等

已知向量=（sinB，1-cosB）与向量=（2，0）的夹角为，其中A、B、C是△ABC的内角．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

19. 难度：中等

数列{a_n}中，a₃=1，a₁+a₂+…+a_n=a_n+1（n=1，2，3…）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n及数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=log₂S_n，存在数列{c_n}使得c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）S_n，试求数列{c_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

如图，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=，AB=4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B-AO-C的大小为θ．
（1）当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
（2）当θ∈[，]时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围．

21. 难度：中等

已知点D（0，-2），过点D作抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图
（Ⅰ）求切点A的纵坐标；
（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k₁，k₂，若k₁+2k₂=4k，求椭圆方程．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=e^2x-2tx，．
（1）求f（x）在区间[0，+∞）的最小值；
（2）求证：若t=1，则不等式g（x）≥对于任意的x∈[0，+∞）恒成立；
（3）求证：若t∈R，则不等式f（x）≥g（x）对于任意的x∈R恒成立．