Question

数列{a_n}中，a₃=1，a₁+a₂+…+a_n=a_n+1（n=1，2，3…）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n及数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=log₂S_n，存在数列{c_n}使得c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）S_n，试求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由a1+a2+…+an=an+1，a3=1，分别令n=1可求a1，a2
（2）由已知可得，sn=an+1=sn+1-sn，结合等比数列的通项公式可求sn，进而可求an
（3）由（2）可求bn=log2Sn=n-2，代入已知可求cn，然后利用分组求和及裂项求和、错位相减即可求解数列的和
【解析】
（1）∵a1+a2+…+an=an+1，a3=1
令n=1可得，a1=a2
令n=2可得，a1+a2=a3=1
∴；…．（2分）
（2）∵a1+a2+…+an=an+1，即sn=an+1=sn+1-sn
∴sn+1=2sn
∵a1=s1=
∴{sn}是以为首项，以2为公比的等比数列
∴
即；…．（3分）
∴an+1=sn=2n-2
∴…（3分）
（3）∵bn=log2Sn=n-2
又∵cn•bn+3•bn+4=1+n（n+1）（n+2）Sn，
∴
∴…（3分）
∵
=
=
设A=1•2-1+2•2+…+n•2n-2
∴2A=1•2+2•2+…+（n-1）•2n-2+n•2n-1
两式相减可得，-A=2-1+2+…+2n-2-n•2n-1=×2
=×2=
∴A=（n-1）•2n-1
∴c1+c2+…+cn=+1•2-1+2•2+…+n•2n-2
==
∴…．（3分）