2012-2013学年河南省南阳一中高三（上）12月月考数学试卷2（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

全集U=R，集合A={x|x²-4≤0}，集合B={x|2^x-1＞1}，则A∩B=（ ）
A．[1，2]
B．（1，2]
C．[1，2）
D．（-∞，2]

2. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

设l是直线，α，β是两个不同的平面（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

4. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₇=35，则a₄=（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5

5. 难度：中等

已知向量、均为单位向量，若它们的夹角120°，则|+3|等于（ ）
A．
B．
C．
D．4

6. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+3x且f（3a-2）＞f（a-1），则实数a的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

对于函数（其中a、b∈R，c∈Z），选取a、b、c的一组值计算f（1）、f（-1），所得结果一定不是（ ）
A．4和6
B．3和1
C．2和4
D．1和2

8. 难度：中等

将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知x，y满足且目标函数z=3x+y的最小值是5，则z的最大值是（ ）
A．10
B．12
C．14
D．15

10. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象如下图所示，为了得到g（x）=-Acosωx的图象，可以将f（x）的图象   （ ）

A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度

11. 难度：中等

若，且tanx=3tany，则x-y的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当 x∈（-2，0）时，f（x）=2^x，则f（2012）-f（2011）的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．-2

二、填空题

13. 难度：中等

已知cos（x-）=，x∈（）．则sinx=    ．

14. 难度：中等

已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于    ．

15. 难度：中等

f′（x）是定义域为R的函数f（x）的导函数，若f′（x）-f（x）＜0，若a=e²⁰¹²f（0）、b=e²⁰¹¹f（1）、c=e¹⁰⁰⁰f（1012），则a，b，c的大小关系是    ．

16. 难度：中等

在数列{a_n}中，如果对任意的n∈N^*，都有（λ为常数），则称数列{a_n}为比等差数列，λ称为比公差．则下列命题中真命题的序号是   
①若数列{F_n}满足F₁=1，F₂=1，F_n=F_n-1+F_n-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
②若数列{a_n}满足，则数列{a_n}是比等差数列，且比公差λ=2；
③“等差数列是常数列”是“等差数列成为比等差数列”的充分必要条件；
④数列{a_n}满足：，且（n≥2，n∈N），则此数列的通项为，且{a_n}不是比等差数列．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα的值．

18. 难度：中等

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求三棱锥P-AEC的体积．

19. 难度：中等

各项均为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列的前n项和S_n．

20. 难度：中等

已知函f（x）=x³+ax²+bx+5，若x=，y=f（x） 有极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．
（3）函数y=f（x）-m有三个零点，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）
（1）若定义域内存在x，使得不等式f（x）-m≤0成立，求实数m的最小值；
（2）g（x）=f（x）-x²-x-a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，求a范围．

22. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若，求的值．

23. 难度：中等

选修4-5；不等式选讲
已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．