2012-2013学年广东省深圳市南头中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x²+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

命题“∃x∈∁_RQ，∈Q”的否定是（ ）
A．∃x∉C_RQ，∈Q
B．∃x∈C_RQ，∉Q
C．∀x∉C_RQ，∈Q
D．∀x∈C_RQ，∉Q

3. 难度：中等

已知两个非零向量，满足|+|=|-|，则下面结论正确的是（ ）
A．∥
B．⊥
C．||=||
D．+=-

4. 难度：中等

公比为的等比数列{a_n}的各项都是正数，且a₃a₁₁=16，则log₂a₁₆=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

5. 难度：中等

一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）
A．3×3!
B．3×（3!）³
C．（3!）⁴
D．9!

6. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
A．9π
B．10π
C．11π
D．12π

7. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点与抛物线y²=12x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x³．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在上的零点个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

二、填空题

9. 难度：中等

已知递增的等差数列{a_n}满足a₁=1，a₃=a₂²-4，则a_n=    ．

10. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=    ．

11. 难度：中等

若x，y满足约束条件，则x-y的取值范围是    ．

12. 难度：中等

设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a²，则a=    ．

13. 难度：中等

已知抛物线y=ax²-1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为    ．

14. 难度：中等

已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于    ．

三、解答题

15. 难度：中等

函数部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-cos2x，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如下表：

实用性
1分	2分	3分	4分	5分
1分	1	3	1		1
2分	1		7	5	1
3分	2	1		9	3
4分	1	b	6		a
5分			1	1	3

（1）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；
（2）若“实用性”得分的数学期望为，求a、b的值．

17. 难度：中等

如图正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，
AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．
（I）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．

18. 难度：中等

已知椭圆．过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线I交椭圆G于A，B两点．
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

19. 难度：中等

已知函数，f（x）=，且是函数y=f（x）的极值点．
（1）若方程f（x）-m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若直线L是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线，且直线L与函数Y=G（X）的图象相切于点P（x，y），，求实数b的取值范围．

20. 难度：中等

已知各项均为正数的数列{a_n} 满足，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）令，记数列{a_n} 的前n项积为T_n，其中n∈N^* 试比较T_n 与9的大小，并加以证明．