2012-2013学年四川省成都市电子科大实验中学高三（上）10月月考数学试卷3（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|x≥0}，且A∪B=B，则集合B可能是（ ）
A．{1，2}
B．{x|x≤1}
C．{-1，0，1}
D．R

2. 难度：中等

设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且，则tanα=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，l⊥m，则l∥α；        
②若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β；
③若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m； 
④若α∥β，l∥α，m⊂β，则l∥m．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

已知一个平面α，ℓ为空间中的任意一条直线，那么在平面α内一定存在直线b使得（ ）
A．ℓ∥b
B．ℓ与b相交
C．ℓ与b是异面直线
D．ℓ⊥b

5. 难度：中等

已知点F、A分别为双曲的左焦点、右顶点，点B（0，b）满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设x是方程lnx+x=4的解，则x属于区间（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

7. 难度：中等

已知双曲线C：-=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C的方程为（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1

8. 难度：中等

设F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F₂PF₁是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若实数x，y满足则z=3^x+2y的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．
D．9

10. 难度：中等

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

A．6
B．9
C．12
D．18

11. 难度：中等

直线x-2y-3=0与圆（x-2）²+（y+3）²=9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（ ）
A．π
B．4π
C．4π
D．6π

14. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

15. 难度：中等

若直线l₁：ax+2y=0和l₂：3x+（a+1）y+1=0平行，则实数a的值为    ．

16. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃+3S₂=0，则公比q=    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量=（4，a²+b²-c²），=（）满足∥，则∠C=    ．

18. 难度：中等

已知P，Q为抛物线x²=2y上两点，点P，Q的横坐标为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为    ．

三、解答题

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx-2cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．

20. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD
（1）证明：DC₁⊥BC
（2）求二面角A₁-BD-C₁的大小．

21. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁，D是棱AA₁的中点．
（I） 证明：平面BDC₁⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC₁分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

22. 难度：中等

已知各项都不相等的等差数列{a_n}的前六项和为60，且a₆为a₁和a₂₁的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），且b₁=3，求数列的前n项T_n．

23. 难度：中等

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图2．
（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）若M是A₁D的中点，求CM与平面A₁BE所成角的大小；
（3）线段BC上是否存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE垂直？说明理由．

24. 难度：中等

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如图2．
（1）求证：DE∥平面A₁CB；
（2）求证：A₁F⊥BE；
（3）线段A₁B上是否存在点Q，使A₁C⊥平面DEQ？说明理由．

25. 难度：中等

如图，F₁、F₂分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF₂与椭圆C的另一个交点，∠F₁AF₂=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知△AF₁B的面积为40，求a，b 的值．

26. 难度：中等

已知函数f（x）=e^ax-x，其中a≠0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．
（2）在函数f（x）的图象上取定两点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x∈（x₁，x₂），使f′（x）＞k成立？若存在，求x的取值范围；若不存在，请说明理由．

27. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-ax，其中a＞0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；
（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为K，证明：存在x∈（x₁，x₂），使f′（x）=K恒成立．