2012-2013学年四川省遂宁市射洪中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ ）
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对

2. 难度：中等

采用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，个体a前两次未被抽到，第3次被抽到的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

同时抛掷2枚大小相同的骰子，所得点数之和是9的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）

A．k＞4？
B．k＞5？
C．k＞6？
D．k＞7？

6. 难度：中等

一个三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．16π
B．32π
C．36π
D．64π

7. 难度：中等

若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．2
B．1
C．
D．

8. 难度：中等

已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且，，==，则点O、N、P依次为△ABC的（ ）
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心

9. 难度：中等

如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）

A．8cm
B．6cm
C．
D．

10. 难度：中等

如右图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是棱DD₁的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A₁B₁上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角的大小为（ ）

A．与点P的位置有关
B．45°
C．60°
D．90°

11. 难度：中等

过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点A作直线L，使L与棱AB，AD，AA₁所成的角都相等，这样的直线L可以作（ ）

A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

12. 难度：中等

有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．（1，）
C．（，）
D．（0，）

二、填空题

13. 难度：中等

在区间[-，]上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的概率为    ．

14. 难度：中等

正三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，PA=PB=PC=a，AB的中点为M，一小虫沿锥体侧面由M爬到C点，则最短路线长是    ．

15. 难度：中等

若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为    ．

16. 难度：中等

正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

一个盒中有1只绿球，2只白球，4只黑球，5只红球，从中任取1球．求：
（1）取出的球是红球或黑球的概率；
（2）取出的球是红球或黑球或白球的概率．

18. 难度：中等

一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形冰淇淋，其三视图如图所示，

（1）求杯子的侧面积；
（2）求冰淇淋的体积；
（3）如果冰淇淋全部融化了，会溢出杯子吗？写出推导过程．

19. 难度：中等

某校高二年级进行了一次期中考试，随机从A，B两个班中各抽取6名同学，这6名同学习的成绩单的茎叶图如图所示：
（1）根据茎叶图计算A，B两个班所抽出6个同学的平均分和方差（方差精确到0.1），由此分析、比较两个班的数学成绩状况．
（2）从A班这6人中随机抽出2名同学，求他们的数学成绩之和大于200分的概率．
（3）从A班这6人中随机抽出1名同学，再从B班这6人中随机抽出1名同学，求抽出的这两人中A班学生数学成绩高于B班学生数学成绩的概率．

20. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为45°．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．

21. 难度：中等

如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°
（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．
（Ⅱ）若二面角C-AB-D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

22. 难度：中等

如图，圆柱OO₁内有一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径．
（I）证明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）设AB=AA₁，在圆柱OO₁内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A₁B₁C₁内的概率为P．
（i）当点C在圆周上运动时，求P的最大值；
（ii）记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为θ（0°≤θ≤90°），当P取最大值时，求cosθ的值．