2012-2013学年江苏省宿迁市泗阳县致远中学高一（上）第一次教学质量检测数学试卷（奥数班）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知一个数列的前四项为，则此数列的一个通项公式a_n=    ．

2. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=45°，A=60°，，则a=    ．

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₃=2，a₇=10，则通项公式a_n=    ．

4. 难度：中等

在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为    ．

5. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₃+a₁₀=4，则S₁₂的值为    ．

6. 难度：中等

在△ABC中，若cosAcosB-sinAsinB＞0，则这个三角形一定是    ．

7. 难度：中等

已知：在锐角三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若，则角B为    ．

8. 难度：中等

计算：=    ．

9. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=20，S_n-4=60，S_n=120，则n=    ．

10. 难度：中等

已知，则=    ．

11. 难度：中等

如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C、D，已知△ACD为边长等于a的正三角形．若目标出现于B时，测得∠CDB=45°，∠BCD=75°，则炮击目标AB的距离为    ．

12. 难度：中等

若方程在x∈[0，π]上有解，则实数m的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都是整数，前n项和为S_n（n∈N^*）．若a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，则通项公式a_n=    ．

14. 难度：中等

将正偶数排列如表，其中第i行第j个数表示为a_ij（i∈N⁺，j∈N⁺），例如a₃₂=10，若a_ij=2012，则i+j=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在f（m）中，角b₁=3-2^m，f（m）_max=3-4=-1，f（x）=3x-（2^m）^x所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的周长为，且．
（1）求边c的长；
（2）若△ABC的面积为，求角C的大小．

16. 难度：中等

等差数列{a_n}的公差为正数，且a₃•a₇=-12，a₄+a₆=-4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）令b_n=|a_n|，数列{b_n}的前n项和S_n，求S_n．

17. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）当时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）A是△ABC的内角，，求A角的大小．

18. 难度：中等

如图，在半径为R，圆心角为60°的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上．设∠POB=a，矩形PNMQ的面积为S．求：
（1）S关于a的函数表达式S（a），并写出其定义域；
（2）S（a）的最大值及相应的a的值．

19. 难度：中等

已知，，，其中α，γ为锐角．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求α+2γ的值．

20. 难度：中等

已知常数a≠0，数列{a_n}前n项和为S_n，且．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）若对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若，数列{c_n}满足：，对于任意给定的正整数k，是否存在p，q∈N^*，使得c_k=c_p•c_q？若存在，求出p，q的值（只要写出一组即可）；若不存在说明理由．