2012-2013学年江苏省淮安市淮阴中学高三（上）期末数学复习试卷（四）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

抛物线x=ay²的准线方程是x=2，则a的值为    ．

2. 难度：中等

若函数f（x）=+是偶函数，则实数a的值为    ．

3. 难度：中等

已知，则=    ．

4. 难度：中等

从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是    ．

5. 难度：中等

已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为    ．

6. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（-2，0）时，f（x）=2^x，则f（2012）-f（2013）=    ．

7. 难度：中等

已知直线与函数f（x）=sinx和函数g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，若MN=，则线段MN的中点纵坐标为    ．

8. 难度：中等

已知双曲线（a＞0）的一条渐近线为y=kx（k＞0），离心率e=，则双曲线方程为    ．

9. 难度：中等

已知函数，满足对任意x₁≠x₂，都有成立，则a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

设，则函数的最小值为    ．

11. 难度：中等

△ABC中，，则的最小值是    ．

12. 难度：中等

给出如下四个命题：
①∀x∈（0，+∞），x²＞x³；
②∃x∈（0，+∞），x＞e^x；
③函数f（x）定义域为R，且f（2-x）=f（x），则f（x）的图象关于直线x=1对称；
④若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域为R，则a≤-4或a≥0；
其中正确的命题是    ．（写出所有正确命题的题号）

13. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x³+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为    ．

14. 难度：中等

若关于x的方程|e^x-3x|=kx有四个实数根，则实数k的取值范围为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知，．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函数的值域．

16. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（3）求证CE∥平面PAB．

17. 难度：中等

某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．
（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？

18. 难度：中等

已知点P（4，4），圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

19. 难度：中等

幂函数y=的图象上的点 P_n（t_n²，t_n）（n=1，2，…）与x轴正半轴上的点Q_n及原点O构成一系列正△P_nQ_n-1Q_n（Q与O重合），记a_n=|Q_nQ_n-1|
（1）求a₁的值；   
（2）求数列{a_n}的通项公式 a_n；
（3）设S_n为数列{a_n}的前n项和，若对于任意的实数λ∈[0，1]，总存在自然数k，当n≥k时，3S_n-3n+2≥（1-λ）（3a_n-1）恒成立，求k的最小值．

20. 难度：中等

已知f（x）=ax-ln（-x），x∈（-e，0），，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=-1时，f（x）的单调性、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，．
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．